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高中数学人教B版选修1-1课时作业:3.1.3 导数的几何意义 Word版含解析

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选修 1-1 第三章 3.1 课时作业 23 一、选择题 1.若函数 f(x)=-3x-1,则 f′(x)=( A. 0 C. 3 解析:f′(x)= lim → = lim → f?x+Δx?-f?x? Δx ) B. -3x D. -3 Δx 0 Δx 0 -3?x+Δx?-1+3x+1 Δx = lim (-3)=-3. → Δx 0 答案:D 2.已知函数 y=f(x)的图象如右图所示,则 f′(xA)与 f′(xB)的大小关 系是( ) A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能确定 解析:由图象易知,点 A、B 处的切线斜率 kA、kB 满足 kA<kB<0,由导数的几何意义, 得 f′(xA)<f′(xB). 答案:B 1 5 3.已知曲线 y=- x2-2 上一点 P(1,- ),则过点 P 的切线的倾斜角为( 2 2 A.30° C.135° B.45° D.165° ) 5 1 解析:∵点 P(1,- )在曲线 y=f(x)=- x2-2 上,则过点 P 的切线斜率为 f′(1)=k= 2 2 -1. ∴点 P 的切线的倾斜角为 135° . 答案:C 1 4.李华在参加一次同学聚会时,用如下图左所示的圆口杯喝饮料,他想:如果向杯子 中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度 h 是关于时 间 t 的函数 h(t),则函数 h(t)的图象可能是( ) 解析:由于圆口杯是“下细上粗”,则开始阶段高度增加较快,以后高度增加得越来越 慢,仅有 B 符合. 答案:B 二、填空题 5.曲线 f(x)=x2 在 x=0 处的切线方程为__________. ?0+Δx?2-0 解析:f′(0)= lim = lim Δx=0,又切线过点(0,0),故切线方程为 y=0. Δx Δx→0 Δx→0 答案:y=0 6.如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y=-2x+9,P 点的横坐标是 4, 则 f(4)+f′(4)=______________________________________________________. 解析:由题意,f′(4)=-2. f(4)=-2×4+9=1. 因此,f(4)+f′(4)=-2+1=-1. 答案:-1 1 7.曲线 f(x)=x3 在点(a,a3)(a≠0)处的切线与 x 轴、直线 x=a 围成的三角形的面积为 , 6 则 a=__________. ?a+Δx?3-a3 解析:因为 f′(a)= lim =3a2,所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为 y- Δx Δx→0 2 2 1 2 a3=3a2(x-a).令 y=0,得切线与 x 轴的交点为( a,0),由题设知三角形面积为 |a- a|· |a3| 3 2 3 1 = ,解得 a=± 1. 6 答案:± 1 三、解答题 8.利用定义求函数 f(x)=x3+x-2 的导数 f′(x),并利用 f′(x)求 f′(-1),f′(1). 解:由导数的定义,得 f′(x)= lim → lim → Δx 0 f?x+Δx?-f?x? = Δx Δx 0 ?x+Δx?3+?x+Δx?-2-?x3+x-2? = Δx Δx→0 lim [(Δx)2+3x2+3x· Δx+1]=3x2+1, ∴f′(x)=3x2+1,则 f′(-1)=4,f′(1)=4. 1 9.已知曲线 y= 上点 P(2,-1). t-x 求:(1)曲线在点 P 处的切线的斜率; (2)曲线在点 P 处的切线方程. 1 解:将 P(2,-1)代入 y= ,得 t=1, t-x 1 ∴y= . 1-x ∴y′= lim → Δx 0 f?x+Δx?-f?x? Δx 1 1 - 1-?x+Δx? 1-x = lim Δx Δx→0 = lim → = lim → Δx 0 Δx [1-?x+Δx?]?1-x?Δx 1 1 = . ?1-x-Δx??1-x? ?1-x?2 Δx 0 (1)曲线在点 P 处的切线斜率为 y′|x=2= 1 =1; ?1-2?2 (2)曲线在点 P 处的切线方程为 y-(-1)=x-2,即 x-y-3=0. 3 4



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